View Beamformer Again

上一篇关于beamformer的文章应该是一年之前，刚入门的时候看了，理解有些粗浅，现在就一些细节上的问题（也是上篇文章中没有提及的地方）补充一些理解，后面实践加深会继续补充。

导向向量估计

首先，导向向量$\mathbf{d}_f$的估计，$\mathbf{d}_f$描述的是声源的方位信息，对波束形成器的指向性十分关键。目前常见的方法是用协方差矩阵$\mathbf{R}_{xx}$的主特征值进行估计，背后的假设在理想情况下，方向性声源的$\mathbf{R}_{xx}^\theta$是个秩为1的矩阵，即可以表示为：

$$\mathbf{R}_{xx}^\theta = E[s_f \mathbf{d}_{f}^\theta] = \phi_{ss} \mathbf{d}_{f}^\theta (\mathbf{d}_{f}^\theta)^H$$

而通常我们采用二阶统计量估计出来的协方差矩阵秩是不为1的，因此，采用主特征值的想法是近似一个秩为1的矩阵，提取其方向信息，这种方法也称为PCA方法，因为可以视为PCA算法中主成分设为1时的特殊情况。这时的$\mathbf{R}_{xx}$被近似为：

$$\mathbf{R}_{xx} \simeq \lambda_{\max}\mathbf{v}\mathbf{v}^H$$

考虑到$\mathbf{R}_{xx}$共轭对称，有：

$$\mathbf{R}_{xx} = \mathbf{V}\mathbf{\Lambda}\mathbf{V}^H = \sum_i^{N-1} \lambda_i \mathbf{v}_i\mathbf{v}_i^H$$

其中$\mathbf{\Lambda}$为对角矩阵，$\mathbf{V}$为正交矩阵。

Beamformer等价性

signal的一些文章中还经常使用到下面两个性质，做一些等价变换

• $\text{trace}(AB) = \text{trace}(BA) $
• $\mathbf{R}_{yy} = \mathbf{R}_{xx} + \mathbf{R}_{vv}$

比如：$\mathbf{h}_{\text{MVDR}} = \mathbf{h}_{\text{PMWF-0}} $，即MVDR和PMWF-0二者等价。

MVDR的weight最常见的表达形式为：

$$\mathbf{h}_{f,\text{MVDR}} = \frac{\mathbf{R}_{f,vv}^{-1}\mathbf{d}_f}{\mathbf{d}_f^H\mathbf{R}_{f,vv}^{-1}\mathbf{d}_f}$$

如果认为$\mathbf{R}_{f,xx} = \phi_{ss} \mathbf{d}_{f}\mathbf{d}_{f}^H$，那么上式可以简化为：

$$\begin{align} \mathbf{h}_{f,\text{MVDR}} &= \frac{\phi_{ss} \mathbf{R}_{f,vv}^{-1}\mathbf{d}_f}{\phi_{ss} \mathbf{d}_f^H\mathbf{R}_{f,vv}^{-1}\mathbf{d}_f} = \frac{\phi_{ss} \mathbf{R}_{f,vv}^{-1}\mathbf{d}_f}{\text{tr}[\mathbf{R}_{f,vv}^{-1}\phi_{ss} \mathbf{d}_f\mathbf{d}_f^H]} \notag \\ &= \frac{\phi_{ss} \mathbf{R}_{f,vv}^{-1}\mathbf{d}_f}{\text{tr}\left[\mathbf{R}_{f,vv}^{-1}\mathbf{R}_{f,xx}\right]} = \frac{\phi_{ss} \mathbf{R}_{f,vv}^{-1}\mathbf{d}_f}{\text{tr}\left[\mathbf{R}_{f,vv}^{-1}\mathbf{R}_{f,yy}\right] - N} \notag \end{align}$$

$\mathbf{h}_{\text{PMWF-}\beta}$[2]通常写成：

$$\mathbf{h}_{f,\text{PMWF-}\beta} = \frac{\mathbf{R}_{f,vv}^{-1}\mathbf{R}_{f,xx} \mathbf{u}_r}{\beta + \text{tr}\left[\mathbf{R}_{f,vv}^{-1}\mathbf{R}_{f,xx}\right]}$$

$\beta = 0$时候，$\mathbf{h}_{f,\text{PMWF-}\beta}$和$\mathbf{h}_{f,\text{MVDR}}$只相差一个缩放因子$d_r$：

$$\mathbf{R}_{f,xx}\mathbf{u}_r = \phi_{ss} \mathbf{d}_{f}\mathbf{d}_{f}^H \mathbf{u}_r = d_r\phi_{ss} \mathbf{d}_f$$

关于$\mathbf{u}_r$的选择，可以人为指定，也可以使用SNR选择[3]（遍历channel，选平均snr最大的做参考）：

$$r = \arg \max_r \text{SNR}_r = \arg \max_r \left(\frac{\sum_f \mathbf{h}_{f,r}^H \mathbf{R}_{f,xx} \mathbf{h}_{f,r}}{\sum_f \mathbf{h}_{f,r}^H \mathbf{R}_{f,vv} \mathbf{h}_{f,r}} \right)$$

最后说一下MCWF[1]（考虑后面有人拿它直接做spatial feature），直接以参考信号的MSE为代价函数：

$$\begin{align} \mathcal{J}_f & = E \left[|X_{f,r} - \mathbf{h}_{f,\text{MCWF}}^H \mathbf{y}_f|^2 \right] = E \left[|\mathbf{u}_r^H \mathbf{x}_f - \mathbf{h}_{f,\text{MCWF}}^H \mathbf{x}_f - \mathbf{h}_{f,\text{MCWF}}^H \mathbf{v}_f|^2 \right] \\ & = E \left[|(\mathbf{u}_r - \mathbf{h}_{f,\text{MCWF}}) ^H \mathbf{x}_f -\mathbf{h}_{f,\text{MCWF}}^H \mathbf{v}_f|^2 \right] \notag \end{align}$$

通常假设噪声和speech不相关，因此有$\mathbf{R}_{yx} = \mathbf{R}_{xx}$，求解上式：

$$\mathbf{h}_{f,\text{MCWF}} = \mathbf{R}_{f, yy}^{-1}\mathbf{R}_{f, xx} \mathbf{u}_r$$

可以进一步表示为：

$$\mathbf{h}_{f,\text{MCWF}} = \frac{\mathbf{R}_{f, vv}^{-1}\mathbf{R}_{f, xx} \mathbf{u}_r}{1 + \text{tr}\left[\mathbf{R}_{f, vv}^{-1}\mathbf{R}_{f, xx}\right]}$$

由此可以看出，$\mathbf{h}_{\text{MCWF}} = \mathbf{h}_{\text{PMWF-1}}​$，总结即是下面两点：

• $\mathbf{h}_{\text{MCWF}} = \mathbf{h}_{\text{PMWF-1}}$
• $\mathbf{h}_{\text{MVDR}} = \mathbf{h}_{\text{PMWF-0}}$

Reference

[1]. Benesty J, Chen J, Huang Y. Microphone array signal processing[M]. Springer Science & Business Media, 2008.
[2]. Souden M, Benesty J, Affes S. On optimal frequency-domain multichannel linear filtering for noise reduction[J]. IEEE Transactions on audio, speech, and language processing, 2010, 18(2): 260-276.
[3]. Erdogan H, Hershey J R, Watanabe S, et al. Improved MVDR Beamforming Using Single-Channel Mask Prediction Networks[C]//Interspeech. 2016: 1981-1985.