OMLSA - Single-channel Speech Enhancement

这次说一个single-channel noise reduction的经典方法，OMLSA（optimally-modified log-spectral amplitude）。这是Cohen在2001年提出的（目前matlab已经开源，在cohen的个人主页上），比较具有代表性，里面牵扯模块也比较多，涉及了很多signal processing领域非常经典的未知量估计问题，后面还被拓展到multi-channel中，和GSC-structure结合，做post-filtering等等，如果想要深纠的话，对这个算法还是要基本了解一下的。我头一次看的时候还被绕进去一两天……

MCRA

首先说一下MCRA（minima controlled recursive averaging）算法，这是noise spectrum估计的一个经典算法，后面还有一个improved版本IMCRA。为什么要提它呢？因为OMLSA第一步就要用它估计噪声谱。

估计出来的噪声谱我这里用$\lambda^d_{f,t}$表示。作为算法的入口，MCRA执行的时候，除了信号谱$Y_{f,t}$之外，再没有任何先验知识。

在speech存在/不存在的假设下，$\lambda_{f,t}$的估计方法为：

$$\begin{align} \lambda_{f,t + 1} &= \alpha_d \lambda_{f,t} + (1-\alpha_d)|Y_{f,t}|^2 \\ \lambda_{f,t + 1} &= \lambda_{f,t} \end{align}$$

$\alpha_d$为平滑因子，如果已知speech在当前观测$Y_{f,t}$下存在的条件概率$p’_{f,t}$，上面两个式子可以联合写成：

$$\lambda_{f,t + 1} = p'_{f,t} \lambda_{f,t} + [\alpha_d\lambda_{f,t} + (1-\alpha_d)|Y_{f,t}|^2](1 - p'_{f,t}) \tag{1}$$

因此关键在于导出条件概率$p’_{f,t}$，首先对观测谱在频率轴上加窗，时间轴上做平滑，得到$S_{f,t}$：

$$S_{f,t} = \alpha_s S_{f,t-1} + (1-\alpha_s)S^f_{f,t-1} \\ S^f_{f,t} = \sum_{\delta=-i}^i w(i) |Y_{f, t + i}|^2$$

并追踪$S^\min_{f,t}$，定义$S^r_{f,t} = S_{f,t} / S^\min_{f,t}$，$p’_{f,t}$由：

$$p'_{f,t} = \alpha_p p'_{f,t-1} + (1-\alpha_p) \delta[S^\min_{f,t} > \Delta]$$

$\delta$表示指示函数，$\Delta$表示预先设置的阈值。上式带入$(1)$即可得到noise spectrum的估计。

Algorithm

使用MCRA算法得到noise spectrum之后，现有的已知量包括$Y_{f,t}$和$\lambda^d_{f,t}$，OMLSA算法进行步骤如下：

• 用$Y_{f,t}, \lambda^d_{f,t}$计算posterior SNR $\gamma_{f, t}$

  $$\gamma_{f,t} = \frac{|Y_{f,t}|^2}{\lambda^d_{f,t}}$$

• 估计prior SNR $\xi_{f,t}$

• 估计prior probability for speech absence $q_{f,t}$

• 计算speech presence probability $p_{f,t}$

  $$\begin{align} p_{f, t} &= \left \{1 +\frac{q_{f, t}}{1 - q_{f, t}}(1 + \xi_{f, t}) e^{-v_{f, t}} \right \}^{-1} \\ v_{f, t} &= \frac{\gamma_{f, t} \xi_{f, t}}{1 + \xi_{f, t}} \end{align}$$

• 计算compute spectral gain function $G_{f,t}$

  $$\begin{align} G_{f, t} &= [G^{H1}_{f,t}]^{p_{f, t}} G_\min ^{1 - p(f, t)} \\ G^{H1}_{f, t} &= \frac{\xi_{f, t}}{1 +\xi_{f, t}} \exp \int^{\infty}_{v_{f,t}} \frac{e^{-t}}{2t} dt \end{align}$$

“Springer Handbook of Speech Processing”中”Spectral Enhancement Methods”一节中，也分别介绍了IMCRA，prior SNR和speech presence probability的估计方法，如果不参考原始论文的话，阅读这部分也完全可以。

OMLSA算法对于瞬时噪声（transient noise）消除能力有限，cohen等人后续还有一系列的工作，比如[2]。对于ASR而言，直接作用OMLSA的效果和masking方法类似，听觉上效果不错，但是一般不能带来WER上的提升，通常以SNR作为衡量指标。下面给出一个sample，直观感受一下OMLSA的去噪效果。

此外就是，OMLSA通常应用在single channel场景下，但是可以和beamforming结合，拓展到multi-channel中，比如[2]中的思路：spectral gain function计算涉及的统计量由GSC beamformer的一些中间结果估计得到，最终作用在beamforming output上，相比原始的OMLSA，算法整体的估计细节改动并不大，因此，熟悉这部分的细节对于了解cohen等人的后续工作帮助还是挺大的。

Reference

[1]. Cohen I, Berdugo B. Speech enhancement for non-stationary noise environments[J]. Signal processing, 2001, 81(11): 2403-2418.
[2]. Cohen I. Multichannel post-filtering in nonstationary noise environments[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2004, 52(5): 1149-1160.