TDOA - SRP-PHAT方法

接着上次GCC-PHAT算法。

GCC-PHAT只利用了两个麦克风的信息，如果麦数多于两路，就可以使用其他的一些方法进行DoA估计，比如Music，SRP算法等等，前者是一个叫做子空间方法的应用，后者这篇文章会进行介绍。

首先认识一下SRP（steered response power）的概念。SRP可以用FS（filter and sum）beamformer的输出功率来表示，如果FS表达为：

$$Y(\omega, t) = \sum_{m = 1}^M G(\omega)_m X_m(\omega, t) e^{-j\omega \tau_m} \tag{1}$$

注：实际中通常在短时频域进行计算，因此，上面的表达式我加上了时间项$t​$。

其中$\tau_m$表示第$m$个麦克风相对参考麦克风的时间延迟，同上篇GCC-PHAT中的定义，对于线阵而言：

$$\tau_m = \frac{\cos(\theta)d_m}{c} \tag{2}$$

那么：

$$\text{SRP}_\text{out}(t) = \sum_\omega Y(\omega, t) Y(\omega, t)^* \tag{3}$$

表示$t$时刻的SRP值，在FS固定的情况下，它只和波达方向$\theta$相关。把$(1)$带入$(3)$，可得：

$$\begin{align} \text{SRP}_{\text{out}}(t) &= \sum_\omega \left(\sum_{p = 1}^M G(\omega)_p X_p(\omega, t) e^{-j\omega \tau_p} \right) \left(\sum_{q = 1}^M G(\omega)_q X_q(\omega, t) e^{-j\omega \tau_q} \right)^* \\ & = \sum_p^M\sum_q^m \left(\sum_\omega G(\omega)_p G(\omega)^*_q X_p(\omega, t)X_q(\omega, t)^* e^{j\omega(\tau_q - \tau_p)} \right) \end{align}$$

上式中括号中的表达式即为选取麦克风$p,q$时的GCC：

$$\text{GCC}_{pq}(t) = \sum_\omega G(\omega)_p G(\omega)^*_q X_p(\omega, t)X_q(\omega, t)^* e^{j\omega(\tau_q - \tau_p)} \tag{4}$$

因此，SRP是所有麦克风两两组合的GCC之和：

$$\text{SRP}_\text{out}(t) = \sum_p^M \sum_q^M \text{GCC}_{pq}(t) \tag{5}$$

若选取$G(\omega)$为$\frac{1}{X(\omega, t)}$，仅仅保留相位信息，那么此时上式的结果称为SRP-PHAT。

表达式$(4)$中，将$\tau_q - \tau_p$写成$\theta$的函数：

$$\tau_p - \tau_q = \frac{d_{pq}\cos \theta}{c}$$

令

$$\widehat{X_i}(\omega, t) = G(\omega)_i X_i(\omega, t)$$

将GCC对应的表示为时间$t$和波达方向$\theta$的函数：

$$\text{GCC}_{pq}(t, \theta) = \sum_\omega \widehat{X_p}(\omega, t) \widehat{X_q}(\omega, t)^* e^{j \omega\cos \theta d_{pq} / c}$$

GCC那篇文章已经提过，对$\theta \in [0, \pi]$进行采样，上述结果被称为augular spectrum。在这里，$\text{SRP}_\text{out}(t, \theta)$亦然。

根据式$(5)$，如果已经有了GCC（-PHAT）的实现，得到对应的SRP（-PHAT）并不难，做一次遍历即可：

aug = zeros(num_frames, num_doa);

for p = 1: num_chs
    for q = 1: num_chs
        d = topo(p) - topo(q);
        tau = linspace(-d / c, d / c, num_doa);
        aug = aug + gcc_phat(Sx(:, :, p), Sx(:, :, q), tau, fs);
    end
end

由于SRP的计算涵盖了所有可能组合的GCC值，因此，得到的结果相比GCC稳定性更高，比如4麦的线阵，我对比GCC-PHAT（channel 1, 4）的augular spectrum和SRP-PHAT的结果如下：

• GCC-PHAT

  

• SRP-PHAT

  

图中黄色的斑点表示值大的区域，不难看出，后者augular spectrum的peak点更加明显，非peak区域的数值分布也相对平稳，因此在后处理进行DoA决策的时候，往往可靠性更高。

如果是单一说话人，且说话较为连续时，往往只需要沿时间轴做个平均，之后找到峰值对应的DoA即可。如果涉及到多个说话人，存在背景噪声，且说话不连续的情况，那么角度谱显示的信息就相对较多，比如说话人数量，说话区间，噪声区间等等，此时，如何利用这些信息进行鲁棒的后处理就显得尤为关键。